Pe aceasta pagina veti gasi solutiile la probleme amuzante de matematica publicate pe destepti.ro :
O metoda de rezolvare a Ghicitorii lui Einstein consta in folosirea unor tabele. Un prim tabel se poate face utilizand indiciile 8 si 11, care permit plasarea norvegianului si a consumatorului de lapte :
Culoarea casei X X X X X
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX X X X X
Bautura preferata X X Lapte X X
Profesie X X X X X
Indiciul 14 poate fi utilizat, de asemenea, pentru ca norvegianul locuieste in stanga, langa casa albastra :
Culoarea casei X Albastra X X X
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX X X X X
Bautura preferata X X Lapte X X
Profesie X X X X X
In urmatorul pas, se foloseste indiciul 5, care spune ca imediat in stanga casei albe se afla casa verde. Exista deci doua posibilitati:
a) Casele verde si alba sunt pe coloanele 3 si 4;
b) Casele verde si alba sunt pe coloanele 4 si 5;
Daca ar fi vorba de prima situatie, indiciul 4 ar permite plasarea cafelei in casa din mijloc, ceea ce este imposibil, pentru ca acolo se bea lapte Prin urmare, a doua varianta este posibila :
Culoarea casei X Albastra X Verde Alba
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX X X X X
Bautura preferata X X Lapte Cafea X
Profesie X X X X X
Trebuie amplasate inca doua case. Casa rosie poate fi in pozitia 1 sau 3. Mai mult, potrivit indiciului 1, englezul locuieste in casa rosie. Prima casa nu poate fi decat galbena, iar rosie cea care ramane :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX X X X X
Bautura preferata X X Lapte Cafea X
Profesie X X X X X
Potrivit indiciilor 1 si 7, in casele rosie si galbena locuiesc englezul, respectiv diplomatul :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX X X X X
Bautura preferata X X Lapte Cafea X
Profesie Diplomat X X X X
Dupa indiciul 10, se poate plasa calul :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX Cal X X X
Bautura preferata X X Lapte Cafea X
Profesie Diplomat X X X X
Ce beau diplomatul norvegianul? S-ar putea alege intre apa, ceai si suc de portocale, dar indiciile 12 si 13 exclud ultimele doua posibilitati. S-a gasit deci raspunsul la una dintre intrebari : Norvegianul este cel care bea apa :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian X X X X
Animal preferatX Cal X X X
Bautura preferata Apa X Lapte Cafea X
Profesie Diplomat X X X X
Se mai stie ca slovenul bea ceai (indiciul 12). Acesta locuieste intr-una dintre casele albastra sau alba :
a) Daca ar locui in casa albastra, atunci s-ar bea ceai in casa albastra si suc de portocale in casa alba. Combinand aceste posibilitati cu indiciul 13, s-ar deduce ca violonistul locuieste in casa alba.
b) Daca ar locui in casa alba, atunci s-ar bea ceai in casa alba si suc de portocale in cea albastra. Combinand posibilitatile cu indiciul 13, s-ar deduce ca violonistul locuieste in casa albastra.
Deoarece slovenul locuieste (obligatoriu) in casa alba sau albastra, inseamna ca va fi un sloven consumator de ceai, intr-una dintre case, si un violinist consumator de suc, in cealalta. Conform indiciului 3, islandezul este inginer. El nu este deci nici sloven, nici violonist si nu poate locui decat in casa alba sau albastra (fiind excluse casele galbena si rosie, din cauza nationalitatii). Nu ii ramane decat casa verde :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian X Englez Islandez X
Animal preferatX Cal X X X
Bautura preferata Apa X Lapte Cafea X
Profesie Diplomat X X Inginer X
Pentru ca spaniolul isi adora cainele (indiciul 2), el nu poate avea cal si nu poate locui decat in casa alba, dupa care se poate plasa slovenul in casa albastra, prin eliminare :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian Sloven Englez Islandez Spaniol
Animal preferatX Cal X X Caine
Bautura preferata Apa X Lapte Cafea X
Profesie Diplomat X X Inginer X
Raman de plasat bauturile si violonistul:
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian Sloven Englez Islandez Spaniol
Animal preferatX Cal X X Caine
Bautura preferata Apa Ceai Lapte Cafea Suc de portocale
Profesie Diplomat X X Inginer Violonist
Sculptorul, care are un magar, locuieste deci in casa rosie, iar medicul in casa albastra, singurul al carei proprietar nu are inca meserie :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian Sloven Englez Islandez Spaniol
Animal preferatX Cal Magar X Caine
Bautura preferata Apa Ceai Lapte Cafea Suc de portocale
Profesie Diplomat Medic Sculptor Inginer Violonist
A ramas indiciul 9 neutilizat, vulpea neputand apartine decat casei galbene, iar zebra nu poate apartine decat singurei casute necompletate :
Culoarea casei Galbena Albastra Rosie Verde Alba
Nationalitate Norvegian Sloven Englez Islandez Spaniol
Animal preferat Vulpe Cal Magar Zebra Caine
Bautura preferata Apa Ceai Lapte Cafea Suc de portocale
Profesie Diplomat Medic Sculptor Inginer Violonist
Raspunsul final: norvegianul bea apa, iar islandezul creste o zebra.
De fiecare data cand Alexandru ii va spune « da » sau « nu », la intrebarea daca numarul este par, Ana isi va nota. Primul raspuns este cotat cu 1, al doilea cu 2, al treilea cu 4, al patrulea cu 8 si asa mai departe, inmultind mereu cu doi. La sfarsit, Ana va aduna valoarea raspunsurilor negative. Iat un exemplu pentru numarul 45 :
Ana Alexandru Cota +
Este par ? (45) nu 1 1
Este par ? (22) da 2
Este par ? (11) nu 4 4
Este par ? (5) nu 8 8
Este par ? (2) da 16
Este par (1) nu 32 32
Total 45
Lui Radu ii plac morcovii sau ridichiile si bananele sau strugurii (indiciul 1).
Mariei ii plac napii sau ridichiile si merele sau strugurii (indiciul 2).
Lui Victor ii plac morcovii sau napii si bananele sau merele (indiciul 3).
Doar lui Radu ii plac morcovii si strugurii (indiciul 4)
Rezulta ca Mariei ii plac merele si ridichiile, iar lui Victor napii si bananele.
Asadar : Maria – ridichiile si merele
Radu – morcovii si strugurii
Victor – napii si bananele
Suma numerelor de la 1 la 17 este 153. 153 – 13 =140 si 140 : 4 = 35. Suma fiecarui rand este 35. Inlocuindu-l pe 10 cu 15 si pastrand 6, 7 si 14 in pozitiile initiale, este nevoie de 2 pe a patra coloana, de 3 + 5 pe a doua diagonala, de 4 + 9 (pentru ca lipseste 13), pe a patra linie, 1 + 16, pentru prima linie. 1 se plaseaza in coltul din stanga, sus. Se obtine urmatorul careu magic :
1 6 16 12
11 17 5 2
8 3 10 14
15 9 4 7
A este mai mic decat 5, deoarece A = A = B. Solutia se cauta prin incercari : daca A = 4, B = 8 si C = 12, solutia nu este corecta din pricina lui C ; daca A = 3, B = 6 si C = 9, solutia nu este corecta din cauza lui D ; daca A = 1, B = 2 si C = 3, solutia nu este corecta din pricina aceluiasi D ; ca urmare, A = 2, B = 4, C = 6, D = 3, E = 5, F = 1, G = 0, caci A x E = FG, H = 9, caci D x D = H, I = 8, caci AB = I. Rezulta ca numai 7 nu corespunde niciuneia dintre litere precizate anterior, deci J = 7.
Sa presupunem ca John locuieste pe strada nr. 50. Atunci Lucia ar locui pe strada nr. 54. Robert ar locui, tinand seama de precizarile Luciei, pe strada nr. 67. Suma numerelor strazilor pe care stau John si Robert ar fi 117. Suma numerelor strazilor Luciei si Emiliei ar fi 115 (cu 2 mai mica decat suma numerelor strazilor baietilor). Cum Lucia ar sta pe strada nr. 54, Emilia ar trebui sa stea pe strada nr. 61. Suma numerelor strazilor lui Robert si Emiliei ar fi, dupa acest calcul, 128. In realitate, aceasta suma este 72, deci cu 56 mai mica decat cea rezultata din calculele anterioare (128-72 = 56). Impartind 56 la 2, se obtine 28. Se scade 28 din fiecare numar de strada si se obtine:
John sta pe strada nr 22
Robert sta pe strada nr. 39
Lucia sta pe strada nr. 26
Emilia sta pe strada nr. 33
Potrivit rationamentului lui Zenon, daca Ahile aflat in punctul O urmareste o testoasa care se afla in punctul A, in timpul in care el ajunge in A, testoasa se va afla in B. Cand Ahile este in B, testoasa va fi in C etc. Ahile se va apropia tot mai mult de testoasa, dar nu va putea castiga cursa. Adica, in momentul in care Ahile a strabatut 10 metri, testoasa a parcurs 1 metru. Cand Ahile a strabatut acel metru, testoasa a mai parcurs 10 centimetri, cand Ahile a parcurs 10 centimetri, testoasa a mai facut 1 centimetru etc., aceasta din urma aflandu-se mereu in avans. Paradoxul consta in faptul ca, intr-o competitie, alergatorul care are o mai mare viteza, dar se afla in urma unuia lent, nu il va putea depasi, deoarece trebuie mereu sa ajunga intr-un punct unde celalalt a fost deja.
Problema enuntata de Zenon, in antichitate, a fost „rezolvata” abia in secolul al XIX-lea, aratandu-se ca, in realitate, procesul divizarii nu poate fi infinit, deci, la un moment dat, un competitor mai rapid il poate ajunge si depasi pe cel mai lent, chiar daca acesta are un avans, dar matematic, da, Zenon are dreptate, fapt explicat prin conceptul de „siruri descrescatoare convergente a caror limita este zero”.
Zenon considera ca o sageata aruncata dintr-un punct A spre un punct B este, de fapt, imobila, pentru ca in fiecare moment se afla intr-un spatiu egal cu al lungimii ei. Concluzia filozofului antic era, evident, falsa.
- La cazinou
Suma se poate calcula aritmetic, pornind de la constatarea ca 1 jeton de 100 euro + 1 jeton de 20 de euro = 120 euro, iar 1 jeton de 80 de euro + 1 jeton de 40 de euro = 120 euro (valoarea medie fiind de 60 de euro). Prin urmare, valoarea totala a jetoanelor se poate calcula, indiferent de repartitia lor in 100, 20, 40, 80 euro. Asadar :
1 jeton de 100 + 1 jeton de 20 =120 euro
38 de jetoane de 40 + 38 de jetoane de 80 = 4560 euro
120 euro + 4560 euro = 4680 euro.
La acelasi rezultat se ajunge si prin calcul algebric, tinand seama de acelasi « truc » :
78 de jetoane = x100 euro + x20 euro + y 40 euro + y 80 euro
Adica 120 x (100 + 20) + 120 y (40 + 80) = A, deci 78 = 2x + 2y, de unde rezulta x + y = 39, iar 120x + 120y = 120 (x+y) = A, A = 120 x 39 = 4680 euro.
- Paradoxul lui Monty Hall
Gasirea unui raspuns pentru „Paradoxul lui Monty Hall” a starnit vii controverse, atat in presa americana, cat si in randul unor matematicieni celebri, printre ei aflandu-se si americanca Marilyn vos Savant, care figureaza in Guinness Book ca fiind persoana cu cel mai ridicat coeficient de inteligenta din lume (un IQ de 228). Probabil ca cei mai multi dintre noi am spune ca orice alegere (a unei porti) ofera aceleasi sanse, dar, in realitate, jucatorul va avea de doua ori mai multe sanse de castig, daca isi schimba alegerea. Potrivit calculelor probabilistice, daca isi pastreaza optiunea, va avea o sansa din trei (trei porti, una valoroasa, deci una din trei). Daca, dupa ce a ales o poarta cu o capra, isi schimba alegerea, exista doua sanse din trei. Si nu este vorba numai de statistica, ci de o situatie care se poate verifica. Daca repetati experienta de o mie de ori si schimbati decizia tot de o mie de ori, dupa deschiderea primei porti, veti vedea ca ati putea castiga in jur de 670 de masini si 330 de capre. In matematica, aceasta situatie tine de « probabilitati conditionate » si, chiar daca surprinde, este real.
- Cele o suta de monede
Solutia consta in a cantari, impreuna, o moneda din prima gramada, 2 monede din a doua gramada, trei, din a treia etc., pana la ultima, adica, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + !0 = 55. Daca toate monedele ar fi fost bune, greutatea celor 55 de piese ar fi fost 55 x 5 = 275 g. Or, monedele false cantaresc 6 grame, in loc de 5, fiecare insemnand un excedent de 1 g. Prin urmare, daca surplusul de greutate este x grame, inseamna ca exista x monede false, care se gasesc in gramada x. De exemplu, daca balanta ar fi indicat 281 de grame, aceasta ar fi insemnat 6 grame in plus (fata de 275 g), adica 6 monede false, care s-ar fi gasit in cea de-a sasea gramada.
- O musca si doi ciclisti
Ciclistii, ruland cu 15 km/ora, au nevoie de o ora pentru a parcurge jumatate din distanta. Prin urmare, musca a parcurs 30 de kilometri (avand viteza de 30 km/ora).
