Uneori, matematica, oricat de exacta ar fi, are bizareriile ei, care ne pot da batai de cap, si pe care specialistii in domeniu le numesc paradoxuri. De exemplu, 0,999999…, punctele de suspensie indicand ca sirul de 9 de dupa virgula merge la infinit, este un numar paradoxal. Se stie ca orice numar real se poate scrie sub o forma zecimala, cu un anumit numar de cifre inainte si dupa virgula. Pentru numerele simple, seria de dupa virgula este una finita. Pentru altele, secventa de zecimale poate fi infinita, dar repetandu-se periodic, de pilda : 22/7 = 3, 142857 142857… Exista si numere la care se repeta dupa virgula o singura cifra : 1/9 = 0,11111…., 1/3 = 0,3333…
In cazul lui 0,9999…, paradoxul matematic consta in faptul ca este echivalent cu 1, altfel spus, 0.9999… si 1 sunt doua modaliatati de a nota acelasi numar. Pentru a demonstra aceasta stranie egalitate – adica 0,9999… = 1 – exista mai multe cai, mai mult sau mai putin riguroase. Demonstratia intuitiva ar fi ca, daca se admite ca 1/9 = 0,1111… si 1/3 = 0.3333…, atunci 0,9999… = 9*0,1111… – 9*(1/9) = 1 sau 0,9999… = 3*0,3333… = 3*(1/3) = 1.
O alta posibilitate consta in rationamentul urmator: se noteaza cu x numarul 0,9999… si, daca se inmulteste x cu 10, se obtine egalitatea : 10*x = 9,9999… = 9 + 0,9999… = 9 + x. Or, daca 10x = 9 + x, se rezolva ecuatia si se obtine x = 1.
