Ziua Secvenței Fibonacci este marcată anual, la data de 23 noiembrie, de către cei pasionaţi de matematică şi în diverse comunităţi educaţionale, pentru a aminti, pe de o parte, de “cel mai talentat matematician occidental al Evului Mediu”, cum l-a caracterizat pe Leonardo Pisano/ Leonardo din Pisa, supranumit “Fibonacci” (1170 – 1240), câteva secole mai târziu, un alt mare matematician, americanul Eves Howard, iar, pe de alta, pentru că “Secvenţa Fibonacci” are legătură cu enigmatica “proporţie de aur”/ “proporţia divină”, prezentă în aproape tot ce există în natură şi care l-a fascinat constant pe om, preluând-o, conştient sau intuitiv, în creaţiile sale de orice fel – arhitecturale, muzicale, în pictură etc.
Secvența Fibonacci se defineşte ca un şir de numere naturale, în care fiecare termen este suma celor două precedente – cele mai cunoscute variante încep cu 1,1,2,3,5,8…. sau 0,1,1,2,3,5,8… Raportul dintre un termen al Secvenţei Fibonacci şi precedentul (pe masură ce numerele cresc), converge către “numărul de aur” – “phi”, 1,618033.
Data de 23 noiembrie, pentru a celebra “Secvența Fibonacci” nu a fost aleasă întâmplător, motivul fiind unul simbolic – data 11/23 (în format american, lună/zi) corespunde primelor patru numere ale secvenței Fibonacci: 1, 1, 2, 3.
Secvenţa Fibonacci – scurtă istorie a conceptului
Numele matematicianului Fibonacci apare menţionat pentru prima dată într-o consemnare a unui notar al Sfântului Imperiu Roman, din 1506, care îl numeşte “Lionardo Fibonacci”, apoi în secolul al XIX-lea, într-un text al matematicianului italian Gugliemo Libri, care face referire la “filius Bonacci” (“fiul lui Bonacci”), adică “Fibonacci”.
Leonardo Pisano/ Fibonacci, fiu al unui negustor şi funcţionar vamal italian, înstărit, a călătorit alături de tatăl său de-a lungul coastei Mediteranei (Egipt, Siria, Bizanț, Provența, Sicilia), perioadă în care a învăţat multe de la diverşi comercianţi despre sistemul lor numeric, cunoştinţele sale despre sistemul hindus-arab de numeraţie fiind completate în vremea cât a primit educaţie la Bugia (în prezent, Bejaia, Algeria), unde tatăl său primise un post.
Practic, “Secvenţa Fibonacci” nu a fost numită aşa de Leonardo Pisano, dar el este primul care a folosit-o ca exemplu, în cartea sa, “Liber Abaci” (“Cartea de calcul”/ “Cartea lui Abacus”), prin care a popularizat cifrele arabe în Europa (utilizând simbolurile de la 0 la 9), înlocuind complicatele cifre romane.
Şirul Fibonacci a fost descris pentru prima dată în matematica indiană, în jurul anului 200 î.Hr., într-o lucrare intitulată “Pingala Sutre” (“Tratat despre prozodie”) a lui Pingala, poet şi matematician, acesta făcând referire la enumerarea unor modele de poezie sanscrită, alcătuite din silabe de două lungimi.
Denumirea de “Şir Fibonacci”/ “Secvenţa Fibonacci” a fost folosită pentru prima dată de matematicianul francez Edouard Lucas, în secolul al XIX-lea.
Secvenţa Fibonacci şi implicaţiile sale
Șirul Fibonacci este o idee relativ rudimentară (la care matematicianul italian a apelat încercând să explice “creşterea populaţiei de iepuri”), dar implicațiile sale mai largi sunt profunde, fiind legat de tiparele de creştere şi dezvoltare din natură, implicit de “raportul de aur”/ “proporţia de aur”, care, încă din antichitate, i-a fascinat pe savanţi, artişti, filosofi.
Dacă, matematic, se poate demonstra că “proporţia de aur”, expresia perfecţiunii, a vieţii, a armoniei universale, are legătură cu Secvenţa Fibonacci, ceea ce nu se ştie şi nu se poate explica este cărui fapt se datorează prezenţa acestei proporţii în tot ce există. În aparentul haos al Universului, în care, susţin unii, întâmplarea oferă diferite si imprevizibile posibilităţi de evoluţie, există totuşi o ordine admirabilă.
Nu trebuie înțeles că totul urmează exact numerele Fibonacci, dar modelele de creștere logaritmică, spiralele și proporțiile (“proporţia de aur”) care derivă din această succesiune apar surprinzător de des. Iată câteva exemple:
În natură, în lumea plantelor şi animalelor
În lumea plantelor există cele mai multe și mai spectaculoase exemple – majoritatea plantelor își așază frunzele pe tulpină la un unghi de aproximativ 137,5°, numit “unghiul de aur” – rezultat direct al raportului de aur. Acest unghi maximizează expunerea frunzelor la lumină, evitând suprapunerea.
Spiralele din flori și conuri – la floarea soarelui, de exemplu, numărul de spirale din sensul acelor de ceasornic și în sens invers sunt adesea două numere Fibonacci (de pildă, 34 și 55, 55 și 89). Ananasul şi conurile de brad au modele de spirale Fibonacci foarte clare, iar mugurii și semințele se distribuie în pattern-uri legate de proporția de aur pentru a optimiza spațiul.
Ramificarea arborilor poate fi modelată cu algoritmi Fibonacci, iar fructele (ananas, rodie, banană etc.) prezintă compartimentări care corespund unor numere Fibonacci.
Multe modele biologice urmează legi de creștere naturală – cochiliile melcilor (Nautilus, de exemplu) cresc aproximativ în spirală logaritmică; această spirală este legată de proporția de aur și de aspecte derivate din șirul Fibonacci. Coarnele berbecilor, caprelor sau antilopelor urmează deseori o curbură logaritmică. La insecte, aranjarea ochilor compuși (facetele) poate urma modele de tip spirală sau mozaic, care folosesc fracții continue apropiate de valoarea phi. Aripile fluturilor pot avea proporții inspirate de raporturi Fibonacci.
Omul şi Universul
La oameni, Secvența Fibonacci nu apare matematic “perfect”, dar anumite proporții și modele se apropie de “numărul de aur” (phi – 1,618), care este strâns legat de șir.
Lungimea antebrațului vs. lungimea mâinii, distanța dintre falangele degetelor, raporturi între elemente faciale (ochi–nas–gură), ciclurile înregistrate pe electrocardiograme, structura ADN-ului, care conţine şi transmite caracteristicile vieţii, craniul uman, structura creierului etc. tind statistic să se apropie de raportul de aur, asa cum creșterea unor oase lungi urmează modele asemănătoare seriilor de creștere logaritmică.
Formele galaxiilor, precum Calea Lactee, pot fi aproximări ale unei spirale logaritmice legate matematic de proporția de aur, ca rezultat al dinamicii gravitaționale. Unii fizicieni au apelat la proprietățile Şirului Fibonacci pentru a-şi construi teoriile despre crearea şi dezvoltarea Universului.
Secvenţa Fibonacci şi “proporţia de aur” în cultură
Secvenţa Fibonacci, împreună cu “numărul de aur”, reprezintă un aspect recurent şi în cultură. În perioada Renaşterii, matematicianul Luca Pacioli, într-o lucrare intitulată “De divina proportione” evidenţiază proporţiile matematice prezente în diverse opere de artă şi în arhitectură, ilustrându-şi textul cu o serie de desene aparţinând lui Leonardo da Vinci, inclusiv “Omul vitruvian”.
Secţiunea de aur este prezentă în nenumărate opere arhitecturale, din antichitate, până în epoca modernă, pentru a crea un sentiment de echilibru şi armonie – Parthenonul dedicat zeiţei Atena, Catedrala Notre Dame, din Paris, proiectele şi realizările arhitecturale ale lui Corbusier, în secolul al XX-lea, care, într-un tratat intitulat “Modulor”, stabileşte conexiuni între secțiunea de aur a siluetei umane şi proporțiile funcționale în arhitectură etc.
Astăzi, de pildă, terasa Centrului de Ştiinţe din Singapore, este construită din plăci aranjate astfel încât proporţia laturilor să amintească de Secventa Fibonacci, numerele Fibonacci sunt afişate pe o monumentală construcţie din Torino, Mole Antonelliana, care găzduieşte Muzeul Naţional al Cinematografiei, în holul central al Gării Principale din Zurich (Zürich Hauptbahnhof), pe un turn uriaş din localitatea Turku, din Finlanda etc.
Muzica si armonia ritmurilor…
Marii compozitori (Mozart, Bach, Beethoven etc.) au explorat şi valorificat în operele lor armonii, structuri, puncte-cheie care trimit la proporţia de aur, chiar dacă, uneori, acest fapt a fost unul intuitiv. De exemplu, Johann Sebastian Bach, unul dintre cei mai apreciaţi compozitori din istoria muzicii, era fascinat de numerologie, de proporţiile matematice şi de armonia “divină” pe care muzica o poate transmite. Despre Béla Bartók, remarcabil compozitor şi pianist, din secolul trecut, se spune că a integrat la cel mai înalt nivel raportul de aur și succesiunea Fibonacci în muzică sa.
Secvenţa Fibonacci este prezentă in filme, romane, emisiuni de televiziune, dovadă a popularităţii de care se bucură. De exemplu, în filmul “Pi”, Şirul Fibonacci este valorificat, in sensul că personajul central, un matematician, trebuie să găsească, cu ajutorul acestuia, “numele lui Dumnezeu”. În romanul “Codul lui da Vinci”, de Dan Brown (si in varianta cinematografică), Şirul Fibonacci este folosit pentru a debloca un seif, în filmul “Arrival”(2016), protagonistul verifică dacă extratereştrii au comunicat cu oamenii prin “modele, numere Fibonacci”. Romanul “The Luminaries” ( “Luminarii”), al scriitoarei neozeenlandeze Eleanor Catton, care a primit, pentru această carte, “Premiul Booker”, în 2013, este structurat pe baza unui şir invers al lui Fibonacci s.a.m.d.
Admirăm “modelul” după care şi noi suntem construiţi…
În realitatea imediată, de la fascinantele manifestări ale lumii vii, la realizările umane, de la obiectele banale, la imensitatea şi tainele Universului, totul pare a avea legătură cu Secvenţa Fibonacci, iar senzaţia de bine şi de frumos pe care o încercăm atunci când suntem înconjuraţi de opere de artă, când ascultăm muzică sau ne aflăm în mijlocul naturii, totul se întâmplă pentru că, spun studii recente, reacţionăm potrivit unor tipare mentale predefinite, care ne fac să apreciem imaginile şi obiectele care respectă Secventa Fibonacci şi proporţia de aur după care şi noi suntem construiţi.
