Calculul infinitesimal

Calculul infinitesimal (calcul diferential si integral) reprezinta o ramura a matematicii, avandu-si radacinile in algebra si geometrie, si care implica doua aspecte complementare – notiunea de „diferentiala”, care stabileste o relatie intre variabilele mai multor functii, si „calculul integral”, care, intr-o formulare foarte generala, permite calculul ariei oricarei suprafete. Termenul „infinitezimal” (din latinescul „infinitesimus”) este utilizat pentru a exprima ideea de cantitate atat de mica incat nu exista nici o posibilitate de a fi vazuta sau masurata. Nu inseamna nici „zero”, dar nici nu poate fi distinsa de zero, printr-o anumita modalitate.

Dezvoltarea calculului infinitezimal se datoreaza mai multor matematicieni, incepand cu Arhimede, continuand cu Fermat, Leibnitz si Newton. Arhimede a valorificat „infinitezimalele” in lucrarea sa „Metoda” (al carei manuscris a fost gasit in 1906), in care, pentru a calcula aria si volumul diverselor corpuri, le-a impartit in secvente infinitezimale, verificandu-si calculele prin metoda „reducerii la absurd” (reductio ad absurdum) si prin metoda „epuizarii”(methodus exaustionibus), care consta in inscrierea si circumscrierea unei figuri geometrice in interiorul, respectiv in afara unui poligon, a carui suprafata (sau volum) converge catre dimensiunile figurii asupra careia se aplica respectivul calcul. Daca reprezentarea este corect construita, diferenta dintre corpul inscris/circumscris si poligonul cu n laturi devine extrem de mica, in conditiile in care n este suficient de mare. Savantul grec a folosit metoda „epuizarii” si pentru a calcula valoarea lui „pi”, inscriind un hexagon intr-un cerc si circumscriind alt hexagon.

Dubland numarul laturilor hexagonului, in mai multe etape, pana cand poligoanele au ajuns la 96 de laturi, lungimea laturii respective a fost calculata ca fiind 3,1408 (o valoare foarte apropiata de cea cunoscuta astazi, a lui „pi” – 3,141592653). Una dintre cele mai mari realizari ale lui Arhimede, in domeniul matematicii (desi el este cunoscut mai mult ca fizician) este demonstrarea faptului ca orice numar, oricat de mare, poate fi scris, aspect demonstrat prin „Calculul firelor de nisip” care ar fi necesare pentru a umple intreg Universul. Pentru a estima marimea Universului si, apoi, numarul firelor de nisip, Arhimede a pus la punct un sistem de numarare, apeland la termenul „myriad” (adica 10 la puterea 8), ajungand la concluzia ca ar fi necesare, pentru umplerea Universului, un myriad la puterea 63 fire de nisip.

Mai tarziu, in secolul al XVII-lea, domeniul calculului infinitezimal s-a imbogatit prin contributiile lui Gottfried Wilhelm Leibniz, concretizate, printre altele, in sistemul sau de notare – „delta” (Δ), semn urmat de o cantitate, pentru a exprima un „infinitezimal” din cantitatea respectiva – de exemplu, daca x inseamna o cantitate oarecare, Δx (sau dx) indica o cantitate infinitezimala din x. Lucrarile de calcul diferential si integral ale lui Leibniz s-au bazat, in mare masura, si pe algebra lui Viete (matematician francez din secolul al XVI-lea) si pe geometria analitica a lui Descartes, acestea fiind continuate de fratii Bernoulli, de Euler [cel care a introdus notiunea de „functie”, fiind primul care a folosit notatia f(x)] si Lagrange. Se considera ca Newton a descoperit multe concepte specifice domeniului, inaintea lui Leibniz, dar acesta din urma a fost cel care le-a publicat cel dintai. Multi considera insa ca paternitatea calculului infinitezinal ii apartine lui Pierre de Fermat, unul dintre primii matematicieni care au aplicat calculul algebric la geometrie, precum si formulele de derivare.

Calculul infinitezimal, in general, include, asadar, notiunile de functii, limite, siruri, asociate algebrei elementare si inductiei matematice. Varianta moderna a calculului infinitezimal se numeste „analiza reala”, o ramura a analizei matematice, care cuprinde  notunile mentionate anterior, dar si derivate, integrale, siruri de functii. Toate acestea isi gasesc aplicatii in variate domenii ale fizicii, in mecanica, in optica, in analiza circuitelor electrice, in astrofizica etc.